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<!DOCTYPE html>

<title>Phonon</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Phonon</span></h1>

</header>

</div>

<p>Ein <b>Phonon</b> ist die <a href="Elementare_Anregung" title="Elementare Anregung">elementare Anregung</a> (<a href="Quant" title="Quant">Quant</a>) des elastischen Feldes. In der <a href="Festk%C3%B6rperphysik" title="Festkörperphysik">Festkörperphysik</a> beschreiben Phononen elementare bzw. kollektive Anregungen der <a href="Gitterschwingung" title="Gitterschwingung">Gitterschwingungen</a> eines <a href="Festk%C3%B6rper" title="Festkörper">Festkörpers</a> und können als <a href="Boson" title="Boson">bosonische</a> <a href="Quasiteilchen" title="Quasiteilchen">Quasiteilchen</a> verstanden werden.

</p><p>Der Begriff Phonon (nach <span style="font-style:normal;font-weight:normal"><a href="Altgriechische_Sprache" title="Altgriechische Sprache">altgriechisch</a></span> <span lang="grc-Grek" class="Grek" style="font-style:normal">φωνή</span> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r261937631">

/* start https://de.wikipedia.org/ */

.mw-parser-output .Latn{font-family:"Akzidenz Grotesk","Arial","Avant Garde Gothic","Calibri","Futura","Geneva","Gill Sans","Helvetica","Lucida Grande","Lucida Sans Unicode","Lucida Grande","Stone Sans","Tahoma","Trebuchet","Univers","Verdana"}

/* end https://de.wikipedia.org/ */

</style><span class="Latn" lang="grc-Latn" style="font-weight:normal;font-style:italic">phonē</span>, deutsch <span lang="de" style="font-style:normal;font-weight:normal">‚Klang‘</span>) wurde in Analogie zu den Schwingungsquanten des <a href="Elektromagnetisches_Feld" title="Elektromagnetisches Feld">elektromagnetischen Feldes</a>, den <a href="Photon" title="Photon">Photonen</a>, gewählt und zum ersten Mal von <a href="Jakow_Iljitsch_Frenkel" title="Jakow Iljitsch Frenkel">J. I. Frenkel</a> 1932 in seinem Buch <i>Wave Mechanics, Elementary Theory</i> verwendet.<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Schwingungsmoden">Schwingungsmoden</h2></div>

<p>In einem dreidimensionalen Kristall mit <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}" loading="lazy"></span> <a href="Atom" title="Atom">Atomen</a> in der <a href="Elementarzelle#Primitive_Elementarzelle" title="Elementarzelle">primitiven Basis</a> existieren zu jedem mit der Kristallsymmetrie verträglichen <a href="Wellenvektor" title="Wellenvektor">Wellenvektor</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 3N}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 3N}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6f05b2b88bb71a7fe6b449800d51de31683da674.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.226ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 3N}" loading="lazy"></span> mögliche <a href="Schwingungsmode" class="mw-redirect" title="Schwingungsmode">Schwingungsmoden</a>:

</p>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 3}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/991e33c6e207b12546f15bdfee8b5726eafbbb2f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 3}" loading="lazy"></span> <a href="Akustik" title="Akustik">akustische</a> Moden, davon eine <a href="Longitudinalwelle" title="Longitudinalwelle">longitudinal</a> und zwei <a href="Transversalwelle" title="Transversalwelle">transversal</a>; <b>akustische Phononen</b> (auch als <b>Schallquanten</b> bezeichnet) sind die Quanten der <a href="Schallwelle" class="mw-redirect" title="Schallwelle">Schallwellen</a>, die sich durch das <a href="Kristallgitter" class="mw-redirect" title="Kristallgitter">Kristallgitter</a> fortpflanzen. Im Zentrum der <a href="Brillouin-Zone" title="Brillouin-Zone">Brillouin-Zone</a> bewegen sich benachbarte Atome gleichsinnig.</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 3N-3}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3cdf8f1861e6e120eedfffad4cde2d304f2e599f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:7.229ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 3N-3}" loading="lazy"></span> <a href="Optisch" class="mw-redirect" title="Optisch">optische</a> Moden; bei <b>optischen Phononen</b> bewegen sich die Atome innerhalb der Basis gegeneinander. Die Bezeichnung „optisch“ beruht darauf, dass in <a href="Ionenkristall" class="mw-redirect" title="Ionenkristall">Ionenkristallen</a> wie <a href="Natriumchlorid" title="Natriumchlorid">NaCl</a> benachbarte <a href="Ion" title="Ion">Ionen</a> meist entgegengesetzte <a href="Elektrische_Ladung" title="Elektrische Ladung">Ladung</a> tragen. Die mechanischen <a href="Schwingung" title="Schwingung">Schwingungen</a> entsprechen dann elektrischen <a href="Dipol_(Physik)#Elektrische_Dipole" title="Dipol (Physik)">Dipol</a>schwingungen, die je nach Schwingungs<a href="Frequenz" title="Frequenz">frequenz</a> der Phononen oft im Bereich des <a href="Infrarotstrahlung" title="Infrarotstrahlung">infraroten</a> oder sichtbaren <a href="Licht" title="Licht">Lichts</a> liegen.</li></ul>

<p>Die Benennung <i>optische Phononen</i> erfolgt dabei unabhängig davon, ob die Phononen tatsächlich in dem Sinne <i>optisch aktiv</i> sind, dass Phononen mit einem <a href="Photon" title="Photon">Photon</a> wechselwirken:<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Wechselwirkungen mit Photonen sind dabei nicht nur, dass ein Phonon erzeugt werden kann, indem ein Photon <a href="Absorption_(Physik)" title="Absorption (Physik)">absorbiert</a> wird, oder dass umgekehrt ein Photon <a href="Teilchenstrahlung" class="mw-redirect" title="Teilchenstrahlung">emittiert</a> werden kann, indem ein Phonon vernichtet wird. Vielmehr gibt es auch Wechselwirkungen eines Photons mit zwei Phononen und eine Elektron-Photon-Phonon-Wechselwirkung.<sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Optisch aktiv können Phononen nur dann sein, wenn innerhalb der Basis <a href="Polarisation_(Elektrizit%C3%A4t)" class="mw-redirect" title="Polarisation (Elektrizität)">elektrische Polarisation</a> vorliegt, was im Allgemeinen genau dann der Fall ist, wenn die Basis aus <i>verschiedenen</i> Atomen aufgebaut ist. Kristalle, die mit infraroten Photonen wechselwirken, nennt man <i>infrarot-aktiv</i>. Beispiele für solche Gitter sind <a href="Ionengitter" title="Ionengitter">Ionengitter</a>, zum Beispiel in Natriumchloridkristallen.

</p><p>Das Modell der Gitterschwingungen setzt eine <a href="Kristallin" title="Kristallin">kristalline</a> Ordnung voraus. Auch <a href="Amorph" class="mw-redirect" title="Amorph">amorphe</a> <a href="Festk%C3%B6rper" title="Festkörper">Festkörper</a> wie <a href="Glas" title="Glas">Gläser</a> zeigen Schwingungen der Atome untereinander, man bezeichnet diese aber <i>nicht</i> als phononische Schwingungen. Für langwellige akustische Schwingungen ist der Einfluss der <a href="Unordnung" class="mw-redirect" title="Unordnung">Unordnung</a> gering.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Anregungsenergie_und_Statistik">Anregungsenergie und Statistik</h2></div>

<p>Betrachtet man harmonische Gitterschwingungen im <a href="Reziproker_Raum" class="mw-redirect" title="Reziproker Raum">reziproken Raum</a>, erhält man entkoppelte Oszillationen im Impulsraum (<a href="Normalschwingung" class="mw-redirect" title="Normalschwingung">Normalschwingungen</a>). Die <a href="Energiezustand" class="mw-redirect" title="Energiezustand">Energiezustände</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon _{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon _{n}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0dfa578876505b4b9541f182a3f2213060a0e093.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.302ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon _{n}}" loading="lazy"></span> dieser Oszillationen sind die Niveaus eines <a href="Harmonischer_Oszillator_(Quantenmechanik)" title="Harmonischer Oszillator (Quantenmechanik)">harmonischen Oszillators</a> nach

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon _{n}(\mathbf {k} )=\hbar \cdot \omega (\mathbf {k} )\cdot \left(n+{\frac {1}{2}}\right)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1fe8797970b55f0f00c8d099c8e01836d884594b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:27.606ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon _{n}(\mathbf {k} )=\hbar \cdot \omega (\mathbf {k} )\cdot \left(n+{\frac {1}{2}}\right)}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<p>Darin ist die <a href="Kreisfrequenz" title="Kreisfrequenz">Frequenz</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/48eff443f9de7a985bb94ca3bde20813ea737be8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.446ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \omega }" loading="lazy"></span> abhängig von der <a href="Schwingungsmode" class="mw-redirect" title="Schwingungsmode">Schwingungsmode</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"></span> und dem <a href="Wellenvektor" title="Wellenvektor">Wellenvektor</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {k} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {k} }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9ea699cbc1f843f2e855577d57529430ec33a1ed.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.411ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {k} }" loading="lazy"></span>, siehe <a href="#Dispersion">Dispersion</a>.

</p><p>Da Phononen zu den <a href="Boson" title="Boson">Bosonen</a> zählen, berechnet sich die mittlere <a href="Besetzungszahloperator" class="mw-redirect" title="Besetzungszahloperator">Besetzungszahl</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \langle n\rangle }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle n\rangle }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/591b81beaaf66f9e21fe885d4a9521c0390bee67.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.204ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \langle n\rangle }" loading="lazy"></span> im <a href="Thermisches_Gleichgewicht" class="mw-redirect" title="Thermisches Gleichgewicht">thermischen Gleichgewicht</a> gemäß der <a href="Bose-Einstein-Verteilung" class="mw-redirect" title="Bose-Einstein-Verteilung">Bose-Einstein-Verteilung</a> als

</p>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle n\rangle ={\frac {1}{\mathrm {e} ^{\hbar \cdot \omega /(k_{\mathrm {B} }\cdot T)}-1}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1ba543ab422150120f846145b488f8e20029af7d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:20.491ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \langle n\rangle ={\frac {1}{\mathrm {e} ^{\hbar \cdot \omega /(k_{\mathrm {B} }\cdot T)}-1}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>mit

</p>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \hbar }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/de68de3a92517953436c93b5a76461d49160cc41.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.306ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \hbar }" loading="lazy"></span>: <a href="Reduzierte_Planck-Konstante" class="mw-redirect" title="Reduzierte Planck-Konstante">reduzierte Planck-Konstante</a></li>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k_{\mathrm {B} }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c9b90d21a1c8fb907fddab1caded3b7f1eeffe3d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.607ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle k_{\mathrm {B} }}" loading="lazy"></span>: <a href="Boltzmann-Konstante" title="Boltzmann-Konstante">Boltzmann-Konstante</a></li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"></span>: <a href="Absolute_Temperatur" class="mw-redirect" title="Absolute Temperatur">absolute Temperatur</a>.</li></ul>

<p>Die Besetzungsstatistik ist vom <a href="Chemisches_Potential" title="Chemisches Potential">chemischen Potential</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu }" loading="lazy"></span> unabhängig, weil die <a href="Teilchenzahl" title="Teilchenzahl">Teilchenzahl</a> der Phononen keine <a href="Erhaltungsgr%C3%B6%C3%9Fe" class="mw-redirect" title="Erhaltungsgröße">Erhaltungsgröße</a> ist.

</p><p>Üblicherweise werden (wie oben) statistische Gemische von Zuständen mit bestimmter Phononenzahl (<a href="Fock-Zust%C3%A4nde" class="mw-redirect" title="Fock-Zustände">Fock-Zustände</a>) verwendet. Wie <a href="Roy_J._Glauber" class="mw-redirect" title="Roy J. Glauber">Roy J. Glauber</a> für Photonen 1963 zeigte, gibt es aber auch für Phononen <a href="Koh%C3%A4rente_Zust%C3%A4nde" class="mw-redirect" title="Kohärente Zustände">kohärente Zustände</a> mit unbestimmter Teilchenzahl, die sehr stark klassischen Gitterschwingungen ähneln.<sup id="cite_ref-4" class="reference"><a href="#cite_note-4"><span class="cite-bracket">[</span>4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Während bei Fock-Zuständen der <a href="Erwartungswert" title="Erwartungswert">Erwartungswert</a> der <a href="Auslenkung" title="Auslenkung">Auslenkung</a> 0 ist, genügt er bei kohärenten Phononen-Zuständen der klassischen Zeitabhängigkeit von Gitterschwingungen.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Nachweis">Nachweis</h2></div>

<p>Die Phononendispersion, d. h. der Zusammenhang zwischen <a href="Energie" title="Energie">Energie</a> und <a href="Impuls" title="Impuls">Impuls</a> der Gitterschwingungen, kann durch die <a href="Neutronenstreuung" title="Neutronenstreuung">inelastische Neutronenstreuung</a>, die inelastische <a href="R%C3%B6ntgenstreuung" class="mw-redirect" title="Röntgenstreuung">Röntgenstreuung</a> sowie durch die <a href="Hochaufl%C3%B6sende_Elektronenenergieverlustspektroskopie" title="Hochauflösende Elektronenenergieverlustspektroskopie">hochauflösende Elektronenenergieverlustspektroskopie</a> (HREELS) untersucht werden. Phononen mit kleinem Impuls, d. h. im Zentrum der <a href="Brillouin-Zone" title="Brillouin-Zone">Brillouin-Zone</a>, können durch <a href="Raman-Spektroskopie" title="Raman-Spektroskopie">Raman-</a>, <a href="Infrarot-Spektroskopie" class="mw-redirect" title="Infrarot-Spektroskopie">Infrarot-Spektroskopie</a> oder <a href="Brillouin-Streuung" title="Brillouin-Streuung">Brillouin-Streuung</a> nachgewiesen werden. Die erste Phononen-Dispersionskurve wurde 1955 am Chalk River Reaktor von <a href="Bertram_Brockhouse" title="Bertram Brockhouse">Bertram Brockhouse</a> mit Neutronenstreuung an einem Aluminium<a href="Einkristall" title="Einkristall">einkristall</a> aufgenommen.<sup id="cite_ref-5" class="reference"><a href="#cite_note-5"><span class="cite-bracket">[</span>5<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Dispersion">Dispersion</h2></div>

<p>Die <a href="Dispersionsrelation" title="Dispersionsrelation">Dispersionsrelation</a> gibt die Abhängigkeit der Energie bzw. <a href="Kreisfrequenz" title="Kreisfrequenz">Kreisfrequenz</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/48eff443f9de7a985bb94ca3bde20813ea737be8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.446ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \omega }" loading="lazy"></span> vom Impuls bzw. <a href="Wellenzahl" title="Wellenzahl">Wellenzahl</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}" loading="lazy"></span> an. Bei Phononen ergibt sich diese Beziehung aus der <a href="Newtonsche_Axiome#Zweites_newtonsches_Gesetz:_Das_Aktionsprinzip_(„lex_secunda“)" class="mw-redirect" title="Newtonsche Axiome">Newtonschen Bewegungsgleichung</a>. Dazu nimmt man an, dass sich die Atome in einem periodischen <a href="Potential_(Physik)" title="Potential (Physik)">Potential</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}" loading="lazy"></span> befinden, in dem sie <a href="Schwingung" title="Schwingung">Schwingungen</a> ausführen.

</p><p>Zwei benachbarte Atome haben einen Phasenunterschied von <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ka}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ka}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/10f1fcbf34692e2eaf3752ad330edef2f261f24f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.441ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle ka}" loading="lazy"></span>, wobei <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"></span> der Abstand zweier benachbarter Atome in der Ruhelage ist. Ein Phasenunterschied von <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2\pi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2\pi }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/73efd1f6493490b058097060a572606d2c550a06.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.494ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 2\pi }" loading="lazy"></span> entspricht einem von Null; höhere Phasenunterschiede sind dementsprechend äquivalent mit einem Wert zwischen <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2\pi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2\pi }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/73efd1f6493490b058097060a572606d2c550a06.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.494ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 2\pi }" loading="lazy"></span>. Aus Symmetriegründen betrachtet man das Intervall zwischen <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -\pi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -\pi }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f2359073fe90a84a705e02f0c1e63b32df850a60.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:3.14ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle -\pi }" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9be4ba0bb8df3af72e90a0535fabcc17431e540a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.332ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \pi }" loading="lazy"></span>. Das entspricht <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}" loading="lazy"></span>-Werten aus der ersten <a href="Brillouin-Zone" title="Brillouin-Zone">Brillouin-Zone</a>, also <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k\in \lbrack -\pi /a,\pi /a\rbrack }">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k\in \lbrack -\pi /a,\pi /a\rbrack }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/db3ae508954ce6a3edf94015615e8491ca2163cf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.636ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle k\in \lbrack -\pi /a,\pi /a\rbrack }" loading="lazy"></span>. Dadurch hat man alle physikalisch relevanten Wellenzahlen abgedeckt.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Akustische_Moden">Akustische Moden</h3></div>

<p>Für das einfache Modell einer <a href="Lineare_Kette" title="Lineare Kette">linearen Kette</a> von Atomen, die durch Federn miteinander verbunden sind, lautet die Dispersionsrelation in erster Näherung

</p>

<msqrt>

<mfrac>

</mfrac>

</msqrt>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega (k)=2{\sqrt {\frac {C}{m}}}\left|\sin \left({\frac {ka}{2}}\right)\right|}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/accfcc49fe76fc4f97f10f7b4344b65496163fb8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:25.162ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \omega (k)=2{\sqrt {\frac {C}{m}}}\left|\sin \left({\frac {ka}{2}}\right)\right|}" loading="lazy"></span>,</dd></dl>

<p>wobei <i>C</i> (gemessen in kg/s<sup>2</sup>) die <a href="Federkonstante" title="Federkonstante">Federkonstante</a> zwischen den zwei benachbarten Ebenen und <i>m</i> die Masse des Atoms ist.

</p><p>Für niedrige Werte von <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k\left(ak\ll 1\right)}">

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k\left(ak\ll 1\right)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/978e253a7cc150373d5616679e3a0b8ca64a5537.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.625ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle k\left(ak\ll 1\right)}" loading="lazy"></span> lautet der Ausdruck näherungsweise

</p>

<msqrt>

<mfrac>

</mfrac>

</msqrt>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega (k)\approx a{\sqrt {\frac {C}{m}}}|k|=c_{\mathrm {s} }|k|}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c109a8705382d0b8c01d2621eb1c38edaaecf897.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:23.99ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \omega (k)\approx a{\sqrt {\frac {C}{m}}}|k|=c_{\mathrm {s} }|k|}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{\mathrm {s} }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/64220b1a579ae68df359e7faf251a1ec31cf584d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.887ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle c_{\mathrm {s} }}" loading="lazy"></span> ist die Schallgeschwindigkeit.

An den Zonengrenzen gilt

</p>

<msqrt>

<mfrac>

</mfrac>

</msqrt>

</mrow>

<mtext>const</mtext>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega =2{\sqrt {\frac {C}{m}}}={\text{const}}.}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0e0b891d05a73052469329a53f045150c3c5bbf2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:19.961ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \omega =2{\sqrt {\frac {C}{m}}}={\text{const}}.}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Die <a href="Gruppengeschwindigkeit" title="Gruppengeschwindigkeit">Gruppengeschwindigkeit</a>, also die Geschwindigkeit des Energietransports im Medium, ergibt sich zu

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msqrt>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</msqrt>

</mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v_{\mathrm {g} }={\frac {\mathrm {d} \omega }{\mathrm {d} k}}={\sqrt {\frac {Ca^{2}}{m}}}\cos \left({\frac {ka}{2}}\right)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b6ffa7369e35886257b0c111e50c3ef2514570f3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:29.36ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle v_{\mathrm {g} }={\frac {\mathrm {d} \omega }{\mathrm {d} k}}={\sqrt {\frac {Ca^{2}}{m}}}\cos \left({\frac {ka}{2}}\right)}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<p>Am Zonenrand ist die Gruppengeschwindigkeit Null: Die Welle verhält sich wie eine stehende Welle.<sup id="cite_ref-6" class="reference"><a href="#cite_note-6"><span class="cite-bracket">[</span>6<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Optische_Moden">Optische Moden</h3></div>

<p>Optische Äste existieren nur bei einer mehratomigen <a href="Basis_(Kristall)" class="mw-redirect" title="Basis (Kristall)">Basis</a>. Die Formel beschreibt die Dispersionsrelation für das Modell einer linearen Kette mit zwei unterschiedlichen Atomen, welche die Massen <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m_{1}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/31aafa60e48d39ccce922404c0b80340b2cc777a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.095ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle m_{1}}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m_{2}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0ecebe334d5cadc3ffcf245eb02919034d7a2ec8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.095ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle m_{2}}" loading="lazy"></span> haben. Die Kraftkonstante <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.766ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle C}" loading="lazy"></span> bleibt konstant. Es ergibt sich<sup id="cite_ref-7" class="reference"><a href="#cite_note-7"><span class="cite-bracket">[</span>7<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-8" class="reference"><a href="#cite_note-8"><span class="cite-bracket">[</span>8<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<msqrt>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</msqrt>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega ^{2}(k)={\frac {C(m_{1}+m_{2})}{m_{1}\cdot m_{2}}}\left[1+{\sqrt {1-{\frac {4m_{1}\cdot m_{2}}{(m_{1}+m_{2})^{2}}}\cdot \sin ^{2}\left({\frac {ka}{2}}\right)}}\,\right]}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cf7fb1d8e09156607a7a95f9c16415b64fd52759.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:60.891ex; height:7.676ex;" alt="{\displaystyle \omega ^{2}(k)={\frac {C(m_{1}+m_{2})}{m_{1}\cdot m_{2}}}\left[1+{\sqrt {1-{\frac {4m_{1}\cdot m_{2}}{(m_{1}+m_{2})^{2}}}\cdot \sin ^{2}\left({\frac {ka}{2}}\right)}}\,\right]}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>und damit näherungsweise <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega ^{2}\approx 2\,{\frac {C(m_{1}+m_{2})}{m_{1}\cdot m_{2}}}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega ^{2}\approx 2\,{\frac {C(m_{1}+m_{2})}{m_{1}\cdot m_{2}}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ad1c03c503d725a90306472b9f78c589a4a02375.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:20.589ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle \omega ^{2}\approx 2\,{\frac {C(m_{1}+m_{2})}{m_{1}\cdot m_{2}}}}" loading="lazy"></span> für den optischen Zweig.

</p><p>Der optische Zweig ist normalerweise höherfrequenter als der akustische Zweig und nahezu dispersionslos. Der akustische Zweig entspricht in obiger Formel einem Minuszeichen vor der Wurzel.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>

<ul><li><a href="Kohn-Anomalie" title="Kohn-Anomalie">Kohn-Anomalie</a></li>

<li><a href="Huang-Rhys-Faktor" title="Huang-Rhys-Faktor">Huang-Rhys-Faktor</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<div class="sieheauch" role="navigation" style="font-style:italic;"><span class="sieheauch-text">Siehe auch</span>: <a href="Festk%C3%B6rperphysik" title="Festkörperphysik">Festkörperphysik</a></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Fachliteratur">Fachliteratur</h3></div>

<ul><li>Feliciano Giustino: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Electron-phonon interactions from first principles</cite>. In: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Reviews of Modern Physics</cite>. <span style="white-space:nowrap">Band<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>89</span>, <span style="white-space:nowrap">Nr.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>1</span>, 16. Februar 2017, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>015003</span>, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<span class="uri-handle" style="white-space:nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1103/RevModPhys.89.015003">10.1103/RevModPhys.89.015003</a></span> (englisch).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Phonon&rft.atitle=Electron-phonon+interactions+from+first+principles&rft.au=Feliciano+Giustino&rft.date=2017-02-16&rft.doi=10.1103%2FRevModPhys.89.015003&rft.genre=journal&rft.issue=1&rft.jtitle=Reviews+of+Modern+Physics&rft.pages=015003&rft.volume=89" style="display:none"> </span></li>

<li>Michael A. Stroscio, Mitra Dutta: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Phonons in nanostructures</cite>. Cambridge Univ. Press, Cambridge 2005, ISBN 0-521-01805-6 (englisch, en).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Phonon&rft.au=Michael+A.+Stroscio%2C+Mitra+Dutta&rft.btitle=Phonons+in+nanostructures&rft.date=2005&rft.genre=book&rft.isbn=0521018056&rft.place=Cambridge&rft.pub=Cambridge+Univ.+Press" style="display:none"> </span></li>

<li>J. M. Ziman: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Electroncs and Phonons</cite> (= <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">The International Series of Monographs on Physics</cite>). Oxford University Press ; Clarendon Press, Oxford ; Clarendon 1962 (englisch, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/electronsphonons0000jmzi">archive.org</a>).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Phonon&rft.au=J.+M.+Ziman&rft.btitle=Electroncs+and+Phonons&rft.date=1962&rft.genre=book&rft.place=Oxford%E2%80%AF%3B+Clarendon&rft.pub=Oxford+University+Press%E2%80%AF%3B+Clarendon+Press&rft.series=The+International+Series+of+Monographs+on+Physics" style="display:none"> </span></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Lexikon_der_Physik">Lexikon der Physik</h3></div>

<ul><li><cite style="font-style:italic">Phononen</cite>. In: Ulrich Kilian u. Christine Weberl (Hrsg.): <cite style="font-style:italic">Lexikon der Physik</cite>. Spektrum Akademischer Verlag, 2003, ISBN 3-86025-296-8 (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.spektrum.de/lexikon/physik/phononen/11157">spektrum.de</a>).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Phonon&rft.atitle=Phononen&rft.btitle=Lexikon+der+Physik&rft.date=2003&rft.genre=book&rft.isbn=3860252968&rft.pub=Spektrum+Akademischer+Verlag" style="display:none"> </span></li>

<li><cite style="font-style:italic">Optische Phononen</cite>. In: Ulrich Kilian u. Christine Weberl (Hrsg.): <cite style="font-style:italic">Lexikon der Physik</cite>. Spektrum Akademischer Verlag, 2003, ISBN 3-86025-296-8 (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.spektrum.de/lexikon/physik/optische-phononen/10703">spektrum.de</a>).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Phonon&rft.atitle=Optische+Phononen&rft.btitle=Lexikon+der+Physik&rft.date=2003&rft.genre=book&rft.isbn=3860252968&rft.pub=Spektrum+Akademischer+Verlag" style="display:none"> </span></li>

<li><cite style="font-style:italic">Dispersionsrelation für Phononen</cite>. In: Ulrich Kilian u. Christine Weber (Hrsg.): <cite style="font-style:italic">Lexikon der Physik</cite>. Spektrum Akademischer Verlag, 1999, ISBN 3-8274-0382-0 (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.spektrum.de/lexikon/physik/dispersionsrelation-fuer-phononen/3191">spektrum.de</a>).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Phonon&rft.atitle=Dispersionsrelation+f%C3%BCr+Phononen&rft.btitle=Lexikon+der+Physik&rft.date=1999&rft.genre=book&rft.isbn=3827403820&rft.pub=Spektrum+Akademischer+Verlag" style="display:none"> </span></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><div class="noresize noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"><span class="mw-default-size" typeof="mw:File"><span title="Commons"></span></span></div><b><span class=""><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Lattice_vibrations?uselang=de"><span lang="en">Commons</span>: Phonon</a></span></b> – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien</div>

<ul><li>Dieter Suter: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://qnap.e3.physik.tu-dortmund.de/suter/Vorlesung/Festkoerperphysik_WS21/4_Phononen.pdf"><i>Gitterschwingungen und Phononen</i></a> In: <i>Einführung in die Festkörperphysik</i>, (Unterrichtsmaterialien) Universität Dortmund 2021</li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.4phys.de/Website/qm/quantkette.html">Einführende Darstellung zu Phononen und kohärenten Phononen bei der linearen Kette</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text">Jakow Iljitsch Frenkel: <i>Wave Mechanics. Elementary Theory.</i> Clarendon Press, Oxford 1932.</span>

</li>

<li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a></span> <span class="reference-text">Der Begriff <i>optisch aktiver</i> Phononen ist dabei auch vom Begriff der <a href="Optische_Aktivit%C3%A4t" title="Optische Aktivität">optischen Aktivität</a> von durchsichtigen Materialien zu unterscheiden.</span>

</li>

<li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-3">↑</a></span> <span class="reference-text">Udo Scherz: Vorlesungsskript „Theoretische Optik“, WS 2012, <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www1.itp.tu-berlin.de/scherz/lehre/WS12/folie6.3.pdf">Kapitel 6.3</a> (PDF)</span>

</li>

<li id="cite_note-4"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-4">↑</a></span> <span class="reference-text">Roy J. Glauber: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Photon Correlations</cite>. In: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Phys. Rev. Lett.</cite> <span style="white-space:nowrap">Band<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>10</span>, <span style="white-space:nowrap">Nr.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>84</span>, 1. Februar 1963 (englisch, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://journals.aps.org/prl/pdf/10.1103/PhysRevLett.10.84">aps.org</a> [PDF]).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Phonon&rft.atitle=Photon+Correlations&rft.au=Roy+J.+Glauber&rft.date=1963-02-01&rft.genre=journal&rft.issue=84&rft.jtitle=Phys.+Rev.+Lett.&rft.volume=10" style="display:none"> </span></span>

</li>

<li id="cite_note-5"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-5">↑</a></span> <span class="reference-text">B.N. Brockhouse, A.T. Stewart: <cite style="font-style:italic">Scattering of Neutrons by Phonons in an Aluminum Single Crystal</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Physical Review</cite>. 100. Jahrgang, 1955, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>756</span>, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<span class="uri-handle" style="white-space:nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1103/PhysRev.100.756">10.1103/PhysRev.100.756</a></span> (<a rel="nofollow" class="external text" href="http://journals.aps.org/pr/abstract/10.1103/PhysRev.100.756">aps.org</a>).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Phonon&rft.atitle=Scattering+of+Neutrons+by+Phonons+in+an+Aluminum+Single+Crystal&rft.au=B.N.%26%2332%3BBrockhouse%2C%26%2332%3BA.T.%26%2332%3BStewart&rft.btitle=Physical+Review&rft.date=1955&rft.doi=10.1103%2FPhysRev.100.756&rft.genre=book&rft.pages=756&rft.volume=100.+Jahrgang" style="display:none"> </span></span>

</li>

<li id="cite_note-6"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-6">↑</a></span> <span class="reference-text"><a href="Siegfried_Hunklinger" title="Siegfried Hunklinger">Siegfried Hunklinger</a>: <cite style="font-style:italic">Festkörperphysik</cite>. 5. Auflage. De Gruyter, Berlin/Boston 2018, ISBN 978-3-11-056774-8, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>187–192</span> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=fEpADwAAQBAJ">eingeschränkte Vorschau</a> in der Google-Buchsuche).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Phonon&rft.au=Siegfried+Hunklinger&rft.btitle=Festk%C3%B6rperphysik&rft.date=2018&rft.edition=5.&rft.genre=book&rft.isbn=9783110567748&rft.pages=187-192&rft.place=Berlin%2FBoston&rft.pub=De+Gruyter" style="display:none"> </span></span>

</li>

<li id="cite_note-7"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-7">↑</a></span> <span class="reference-text">Kittel: <i>Einführung in die Festkörperphysik</i>. 5. Auflage. Oldenbourg, 1980, S. 134 ff.</span>

</li>

<li id="cite_note-8"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-8">↑</a></span> <span class="reference-text">Ibach, Lüth: <i>Festkörperphysik</i>. Springer 1990, S. 57</span>

</li>

</ol>

<div>

Normdaten (Sachbegriff): <a href="Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>: <span class="-print"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4129373-3">4129373-3</a></span> | <a href="Library_of_Congress_Control_Number" title="Library of Congress Control Number">LCCN</a>: <span class="-print"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://id.loc.gov/authorities/sh85101066">sh85101066</a></span> | <a href="Web_NDL_Authorities" title="Web NDL Authorities">NDL</a>: <span class="-print"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://id.ndl.go.jp/auth/ndlsh/00568885">00568885</a></span> </div>

</div></div></div><div><div class="zim-footer">

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